§ 13. Квадратичная функция и ее свойства

Пример. Постройте график квадратичной функции у = х2 + 4х + 3.

Видеорешение

Функция вида y = ax2 + bx + c, где а, b и с — некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратичной

Графиком квадратичной функции является парабола.

Квадратичную функцию можно записать:

1) в виде многочлена: y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0;

например, y = 4x2 − 24x + 20;

2) в виде разложения на множители (если корни соответствующего квадратного трехчлена существуют): y = a(x − x1)(x − x2);

например, y = 4(x − 1)(x − 5);

3) в виде выделенного полного квадрата: y = a(x − m)2 + n;

например, y = 4(x − 3)2 − 16.

Свойства квадратичной функции y = ax2 + bx + c

1. Область определения функции — все действительные числа, т. е. D = R.

3. Нули функции. Значения аргумента, при которых значения функции y = ax2 + bx +c равны нулю, являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx +c.

●Если квадратный трехчлен ax2 + bx +c имеет два корня x1 и x2, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках с координатами

(x1; 0), (x2; 0).

 

 

 

 

 

 

●Если квадратный трехчлен ax2 + bx +c имеет единственный корень x1, то парабола имеет с осью абсцисс единственную общую точку с координатами (x1; 0).

 

 

 

 

 

●Если квадратный трехчлен ax2 + bx +c не имеет корней, то парабола не имеет с осью абсцисс общих точек.

 

 

 

 

 

2. Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. 

Если a > 0, то E = [yв; +    ); сли a < 0, то E = (−    ; yв], где хв и ув — координаты вершины паработы;

ув = у(хв), хв = −b/2a.

4. Ось симметрии параболы. Осью симметрии параболы является прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси ординат. Уравнение оси симметрии х = − b/2a. Симметричные части графика называются ветвями параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Чтобы построить график квадратичной функции f(x) = ax2 +bx + c, где a ≠ 0, нужно:

1. Определить направление ветвей параболы. (Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.)

2. Определить координаты вершины параболы: хв = − b/2a, yв = f(хв). Построить вершину параболы и ось симметрии параболы x = хв.

3. Найти нули функции, если они есть, и отметить их на оси абсцисс.

4. Определить точку пересечения параболы с осью ординат. (Если x = 0, то значение функции f(x) = ax2 +bx + c равно с.) Построить точку с координатами (0; с) и точку, ей симметричную относительно прямой x = хв.

5. Соединив отмеченные точки плавной линией, построить график функции.

Пример. Из данных квадратных функций выберите квадратичную:

а) у =       ;          б) у = 2х − 5;             в) у = х2 + 2х − 8;            г) у = |х|.

Видеорешение

Пример. Из данных квадратных функций выберите квадратичную:

а) у = 7/x;          б) у = х2 − 5x + 6;             в) у = 3х + 1;            г) у = |х|.

Видеорешение

Пример. Вершиной параболы у = (х − 4)2 + 1 является точка с координатами:

а) (4; 1);          б) (4; −1);             в) (−4; −1);            г) (−4; 1).

Видеорешение

Пример. Вершиной параболы у = (х − 3)2 + 5 является точка с координатами:

а) (−3; 5);          б) (−3; −5);             в) (3; 5);            г) (3; −5).

Видеорешение

Пример. Квадратичная функция задана формулой f(x) = −x2 +1. Найдите f(2).

Видеорешение

Пример. Квадратичная функция задана формулой f(x) = −x2 +4. Найдите f(3).

Видеорешение

Пример. Постройте график квадратичной функции у = х2 + 6х + 5.

 

Пример. Найдите координаты вершины параболы f(x) = 2x2 − 12x +1.

Видеорешение

Пример. Найдите координаты вершины параболы f(x) = 2x2 − 8x +1.

Видеорешение

Пример. Найдите координаты вершины параболы f(x) = −x2 + 8x − 1.

Видеорешение

Пример. Найдите координаты вершины параболы f(x) = −x2 + 6x − 1.

Видеорешение

Пример. Найдите нули функции у = 3x2 − 7x + 4.

Видеорешение

Пример. Найдите нули функции у = 4x2 − 7x + 3.

Видеорешение

Пример. Найдите нули функции f(x) = 6x2 − х.

Видеорешение

Пример. Запишите уравнение оси симметрии параболы у = 2x2 − 12x + 1.

Видеорешение

Пример. Запишите уравнение оси симметрии параболы у = 2x2 − 8x + 1.

Видеорешение

Пример. Квадратичная функция задана формулой у = (х − 7)(х +1). Найдите множество значений данной функции.

Видео решение

Пример. Квадратичная функция задана формулой у = (х − 5)(х +1). Найдите множество значений данной функции.

Видеорешение

Пример. Найдите нули функции f(x) = 7x2 − х.

Видеорешение

Пример. Постройте график функции у = (х − 3)2 − 4.

Видеорешение

Пример. Постройте график функции у = −х2 + 6х − 8.

Видеорешение

Пример. Постройте график функции у = (х + 3)2 − 1.

Видеорешение

Пример. Постройте график функции у = −х2 + 6х − 5.

Видеорешение

Пример. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке:

а) у = (х − 3)2 + 4;              б)  у = (х + 3)2 − 4;         

в) у = (х − 3)2 − 4;              г) у = (х + 3)2​​​​​​​ + 4.

Видеорешение

Пример. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке:

а) у = (х + 2)2 − 3;              б)  у = (х − 2)2 − 3;         

в) у = (х + 2)2 + 3;              г) у = (х − 2)2 + 3.

Видеорешение