§ 1. Многоугольник

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Теорема (о сумме углов n-угольника). Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2). Доказательство

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.

У четырехугольника АВСD, изображенногона рисунке слева, стороны АВ и СD, АD и ВС —  противоположные, вершины А и С, В и D, а также углы при этих вершинах — противоположные.  Отрезки АС и ВD — диагонали четырехугольника АВСD. Диагональ АС разбивает четырехугольник АВСD на два треугольника АВС и АDС.

У любого четырехугольника четыре стороны, четыре вершины, четыре внутренних угла, две диагонали. Две несоседние стороны называются противоположными (или противолежащими) сторонами, две несоседние вершины — противоположными вершинами, а углы при этих вершинах — противоположными углами четырехугольника.

На  рисунке а) изображен выпуклый пятиугольник АВСDЕ, б) — невыпуклый четырехугольник АВСD (вершины А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой СD). Фигура, изображенная на рисунке в), не является многоугольником, так как ломаная 
АВСDЕ непростая.

Многоульник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. В противном случае он называется невыпуклым. См. видео

Вершины этой ломаной называются вершинами многоугольника, ее звенья — сторонами многоугольника. Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. По свойству ломаной длина любой стороны многоугольника меньше суммы длин оставшихся сторон.

Стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами; вершины, являющиеся концами одной стороны, — соседними вершинами, а углы при этих вершинах — соседними углами многоугольника. При этом углом выпуклого многоугольника (иногда говорят внутренним углом) называется угол между соседними сторонами, содержащий этот многоугольник.

Диагональю многоугольника называется отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

Каждый угол выпуклого многоугольника меньше 180°. Невыпуклый многоугольник имеет, по крайней мере, один угол, больший 180°.

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.

Свойство: "Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°». Доказательство

Задача. Найдите количество диагоналей выпуклого шестиугольника.

Видеорешение

Задача. Дан выпуклый n-угольник, сумма углов которого равна 3600°. Найдите число сторон данного n-угольника.

Видеорешение