§ 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа

Арксинусом числа a называется угол, принадлежащий промежутку [−^π/₂; ^π/₂], синус которого равен a.

arcsin a = α, если α ∈ [−^π/₂; ^π/₂] и sin α = a

arcsin (−a) = arcsin a, a ∈ [−1; 1]

Областью определения выражения arcsin a является отрезок [–1; 1]. Если |a| > 1, то выражение arcsin a не имеет смысла.

Из определения арксинуса числа следует, что sin (arcsin a) = a, если a ∈ [−1; 1], и arcsin (sin α) = α при α ∈ [−^π/₂; ^π/₂].

▪ Пример 1. Вычислите значение выражения

Арккосинусом числа a называется угол, принадлежащий промежутку [0; π], косинус которого равен a.

arccos a = α, если α ∈ [0; π] и cos α = a

arccos (−a) = π − arccos a, a ∈ [−1; 1]

▪ Пример 2. Найдите значение выражения

Областью определения выражения arccos a является отрезок [–1; 1]. Если |a| > 1, то выражение arccos a не имеет смысла.

▪ Пример 3. Найдите область определения выражения arccos (8x + 1).

Из определения арккосинуса числа следует, что cos (arccos a) = a, если a ∈ [−1; 1], и arccos (cos α) = α при α ∈ [0; π].

Арктангенсом числа a называется угол, принадлежащий промежутку (−^π/₂; ^π/₂), тангенс которого равен a.

arctg a = α, если α ∈ (−^π/₂; ^π/₂) и tg α = a

arctg (−a) = arctg a, a ∈ R

Из определения арктангенса числа следует, что tg (arctg a) = a при a ∈ R, и arctg (tg α) = α при α ∈ (−^π/₂; ^π/₂).

▪ Пример 4. Найдите значение выражения

▪ Пример 5. Найдите значение выражения

▪ Пример 6. Вычислите значение выражения

Арккотангенсом числа a называется угол, принадлежащий промежутку (0; π), котангенс которого равен a.

arcctg a = α, если α ∈ (0; π) и ctg α = a

arcctg (−a) = π − arcctg a, a ∈ R

▪ Пример 7. Оцените значение выражения arcctg b ‒ 2π.

▪ Пример 8. Вычислите значение выражения

Из определения арккотангенса числа следует, что сtg (arcctg a) = a, если a ∈ R, и arcctg (ctg α) = α при α ∈ (0; π).